KÜME KAVRAMI




         Matematikle uğraşan herkes bu kavramı duymuştur. Benim orta öğretim yıllarımda bu kavram ders kitaplarında yoktu. Ben bu kavramla üniversite yıllarında tanıştım. Ama ne tanışma... Bir daha hiç unutmamacasına. Zaten istesen de unutamazsın çünkü,neredeyse her taşın altından küme çıkıyor.
        Küme kavramı için orta dereceli okul matematik kitaplarında;  "Belirli nesneler topluluğuna küme denir.Kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir. Kümede bulunan elemanlara kümenin elemanı denir. Genellikle küçük harflerle gösterilir. Eğer bir  a  elemanı A kümesine ait ise bu a€R şeklinde gösterilir. Bir kümenin içerdiği elemanların sayısına ,o kümenin eleman sayısı denir. Örneğin A kümesinin eleman sayısı  n  ise bu s(A)=n şeklinde gösterilir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ve ... " şeklinde bilgilendirmelere ve bunlara ilişkin örnekler vermeye devam edilmekte olduğunu görebiliriz. Bu kitaplardan kümeyi öğrenen birisi için küme çok kolay ve anlaşılır bir konudur. Oysa gerçek hiç de öyle değil.
        Küme kavramını matematiğe kazandıran Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor( 3 mart 1845-6 ocak 19018) dır. Hayatını ve matematiğe yaptığı katkıları Burada okuyabilirsiniz.
 
       Yazının devamı uygun bir zamanda yazılacaktır.

            GEOMETRİK ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZİ VAR MIDIR?



       Geometrik şekil denildiğinde, hemen aklımıza aşağıdaki gibi şekiller gelir.

Şekil1: Düzlemsel geometrik şekiller

        Bu şekilleri dikkatle incelediğimizde hepsinin düzlemsel olduğunu, yani bir düzleme çizilebildiklerini bütün elemanlarının aynı düzleme ait olduğunu söyleyebiliriz.

Şekil2: Üç Boyutlu (Uzaysal) geometrik şekiller

        Üstteki şekilde gördüğümüz geometrik şekiller ise uzaysal(üç boyutlu) geometrik şekillerdir. Bu şekillerin( ki bunlara çoğu kez üç boyutlu cisim diyoruz) düzlemsel olamadıklarını,yani bütün elemanlarını aynı düzlemde bulunduramayacağımız çok açıktır.

        İster düzlemsel isterse de uzaysal olsun, bütün geometrik şekillerin dikkatle incelediğimizde, her birinin nokta,doğru parçası, düzlem parçası,çember yayı/parçasından veya birden fazla geometrik şekillerin birleşiminden meydana geldiğini görebiliriz.   İşte tam da bu sebeple bu şekillerin matematiksel ve geometrik incelemelerinde her birini  bir nokta kümesi olarak düşünürüz. Nasıl her bir canlı organizma bir hücre yığını ise,geometrik şekillerde birer nokta yığınıdır.

          "Nokta" makalesinde uzun uzadıya nokta hakkındaki görüşlerimi açıkladım. Bu yaklaşımla bakıldığında geometrik şekillerin örneğin üçgenin ağırlık merkezi var mıdır yoksa yok mudur? Varsa neresidir? Sorularına cevap arayalım.
        Orta öğretim ders kitaplarının; üçgeni ve yardımcı elemanlarını anlatan hangi kaynağına bakarsanız bakınız " Üçgenin üç kenarortayın kesim noktası üçgenin Ağırlık Merkezidir" şeklinde bir ifadeye rastlarsınız. Demek ki bu kaynaklara göre nokta kümesi olan  üçgenin, ve de  üçgenlerden oluşan dörtgenin, çokgenlerin Ağırlık Merkezi vardır. Hatta bu yaklaşımla çemberin,dairenin, küpün,elipsin,hiperbolün,v.s geometrik şekillerin tümünün Ağırlık Merkezi vardır. Bu kaynaklara göre var olduğu söylenen Ağırlık Merkezinin şekillerde nasıl bulunacağını,ya da hangi nokta olduğunu şimdilik bir kenara bırakarak önce Ağırlık Merkezi var mıdır? Yok mudur? durumunu tartışmalıyız.
         Esas itibariyle bir fizik terimi olan Ağırlık Merkezi, fizikte: "bir cismin üzerindeki bütün noktalara ayrı ayrı etkide bulunan yer çekimi güçlerinden oluşmuş tek güç durumundaki bileşkenin uygulama noktası"  biçiminde tanımlanmaktadır.   Ayrıca  burada da  "Bir cismin moleküllerine etki eden yer çekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktasına ağırlık merkezi denir" şeklinde ifade edilmektedir. Her iki tanımda da Ağırlık merkezinin cisimler için,yani var olan şeyler için söz konusudur. Oysa bir üçgen,ya da herhangi bir düzlemsel geometrik şekil var olan bir şey midir? Bir nesne midir? Ağırlıkları var mıdır? Yoksa bu şekiller sanal varlıklar mıdır?
      Şimdi iki durum söz konusudur. Birinci durum geometrik şekillerin Ağırlık Merkezinin olduğu durum. Hal böyle ise hem noktalardan müteşekkil (meydana gelmiş) olan geometrik şekiller birer nesnedir ve hem de nokta, ağırlığı olan bir nesnedir diyebiliriz. Ulaştığımız bu sonucun noktanın boyutsuzluğu ile açıkça çelişen(ona ters düşen) bir durum olduğu kesindir. İkinci durum ise geometrik şekillerin Ağırlık Merkezinin olmadığı durumdur. hal böyle ise, yukarıda sözü edilen ve bütün bir orta öğretim kaynaklarında yer alan ve hem öğrencilerin hemde bir çok öğretmenin " Üç kenarortayın kesim noktası üçgenin Ağırlık Merkezidir" şeklindeki kanaatleri/bilgileri ve buna dayalı olarak yaptıkları bazı işlemlerin tamamen yanlıştır. 

                              NOKTA KAVRAMI

     Bu yazıda; nokta hakkındaki,özellikle de matematik ve geometrideki  nokta kavramı hakkındaki düşüncelerimi sizlerle paylaşmak istiyorum.
     Gerçekte, nokta denildiğinde hepimizin aklına ilk önce bir noktalama işareti olan ve yaygın olarak bir cümlenin bittiğini göstermek için kullandığımız  "." işareti gelir.  Elbetteki bir noktalama işareti olarak noktanın,edebi anlamda daha bir çok kullanıldığı yer vardır. Bunların neler olduğunu internetten öğrenmek kolaydır. Bütün bunlarla birlikte bazen sabit bir yeri belirtmek için ya da durmayı, susmayı,değiştirmeyi istemek anlamında da kullanılmaktadır. Örneğin "Konuşmanın burasına bir nokta koyalım" denildiğinde,üzerinde konuşulan konunun artık konuşulmamasına karar verildiği belirtilmek istenmiştir.
    Ancak bizim asıl amacımızın, noktanın matematik veya geometrideki kullanımı, anlamı ve önemini belirtmek olması sebebiyle şimdi söz konusu hususlara değinmeye çalışalım.

    Nokta; geometrinin ve belki de matematiğin yapı taşıdır diyebiliriz. Çünkü geometrik her şekil noktalardan oluşmuş bir küme(yığın) olarak düşünülmektedir. Örneğin; bir doğru parçası, bir doğru, üçgen, dörtgen, çember, konikler, küpler, piramitler, fonksiyon grafikleri, fraktallar vs. bir çok şey noktaların kümesi olarak kabul edilmektedir. Belki de bu nedenledir ki, bir temel yapı elemanı olarak nokta, bir çok orta öğretim ders kitabında tanımsız ve boyutsuz olarak kabul edilmektedir. Hatta birer nokta kümesi olan doğru, düzlem ve uzay da tanımsız olarak kabul edilen özel kavramlardır.  

      İşte aşağıda bazılarına değineceğim bir çok sıkıntı tam da buradan, yani noktanın tanımsız ve boyutsuz olarak kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır.

    Matematiğin önemli bir dalı olan geometri(düzlem geometri, uzay geometri, analitik geometri,diferansiyel geometri,vb) de doğru,doğru parçası,ışın, açı, üçgen, çokgen, çember, elips, hiperbol, parabol, küre ve daha başka bir çok kavramın tanımında, noktadan doğrudan yararlanılır. Örneğin küre;" uzayın sabit bir noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi" olarak tanımlanır.

    Hem geometride hem de matematikte sıkça kullanadığımız sayı eksenini (Reel sayıları) hatırlayalım. Bu eksen (doğru); her sayıya bir noktanın ve her noktaya da bir reel sayının eşlendiği bir nokta kümesidir. Bu sayı ekseninde $A$ noktasına karşı gelen sayı $a$ ise,bu $a$ sayısına $A$ noktasının koordinatı dendiğini ve $A(a)$ şeklinde gösterdiğimizi biliyoruz. Bu sayı ekseninin iki farklı noktası $A(a),\quad B(b)$ olsun.
Uzaklık Postulatına göre; farklı noktaların her çiftine tek bir pozitif sayı karşılık gelir. Bu pozitif sayıya bu iki nokta arasındaki uzaklık diyoruz. $A$ ve $B$ farklı iki nokta olsun. Bu iki nokta arasındaki uzaklık $|AB|$ şeklinde gösterilir. Ayrıca $A=B$ ise $|AB|=|AA|=|BB|=0$ dır.   

    Postulatta sözü edilen bu iki nokta arasındaki uzaklığın: $|AB|=|b-a|...........*$ şeklinde gösterildiğini biliyoruz.
 Geometri ile biraz olsun ilgili olan herkes, $[AB]$ gösterimlerimi ile; bir doğrunun ya da sayı ekseninin, uç noktaları $A$ ve $B$ noktaları olan ve bu noktalar da dahil olmak üzere aralarındaki noktalardan oluşan $AB$ doğru parçasını kast ettiğimizi bilir. Benzer olarak $[AB[ $ ile, $A$ noktası dahil $B$ noktası hariç aradaki noktalar kümesi olan $AB$ ışınını kast ettimizi ve yine $]AB[$ ile de hem $A$ hariç, hem de $B$ hariç aradaki noktalardan oluşan kümeyi kast ettiğimizi bilir. Bunların tanımından da anlaşılacağı üzere üç nokta kümesi de birbirinden farklıdır. Dolayısıyla kümeler arasındaki fark işlemi yardımıyla, $[AB]-[AB[=\{B\}$ ve benzer olarak $[AB[-]AB[=\{A\},\quad [AB]-]AB[=\{A,B\}$ eşitliklerini yazabiliriz.

   Öte yandan orta öğretime kaynaklık eden matematik ya da geometri ders kitaplarında ya bu hususa hiç değinilmemekte ya da, bu üç farklı nokta kümesine karşılık gelen uç noktalar arasındaki mesafe,her üçü için de $*$ daki değer olarak alınmaktadır. Örneğin $[AB[-]AB[=\{A\} $ olan $[AB[ $ ile $]AB[$ 'nin boyları aynı ise $\{A\}$ noktası boyutsuz,yani$|A|=0$ demektir. Çünkü eksikliği boyutu değiştirmemektedir. Aynı şekilde $[AB]-]AB[=\{A,B\}$ olmasına rağmen uzunlukları aynı sayılıyorsa bu sefer de hem $A$ noktası hemde $B$ noktasının eksilmesinin uzunluğu değiştirmediğini söyleyebiliriz.  Böyle olunca da aşağıdaki bazı soruların cevaplanması gerekmektedir.

1) Belli bir uzunlukta olan bir doğru parçasının uçlarından (ya da bir ucundan)her seferinde bir nokta çıkaralım. Bu işlemi  $n$ kez yapalım. Her işlemden sonra doğru parçasının boyu değişmiyor ise $n\rightarrow \infty$ için durum nedir? Bu nokta çıkarma işlemini ikişer nokta ,üçer nokta,...,n-er nokta çıkararak yapalım. ve çıkarma işlemini sonsuz kez yaparak,noktaları(eğer başarabilirsek) tüketelim.Son durumda başlangıçtaki doğru parçasının boyu için ne söyleyebiliriz? Yani bir doğru parçasından istediğimiz kadar nokta çıkarırsak(silersek) bu doğru parçasının uzunluğunda hiçbir değişiklik olmaz mı?
2) Her biri boyutsuz olan noktalardan oluşan bir doğru parçasına karşı gelen uzunluğun açıklaması nasıldır?
3)Yalnız bir noktası eksik olan bir fonksiyon grafiğinin süreksizliğine, boyutsuz olan bir şeyin sebep olduğunu nasıl açıklayabiliriz.
4)Eşit uzunlukta olan doğru parçalarının eşit sayıda nokta içermediklerini söylemek ne kadar yanlıştır? Ya da eşit sayıda nokta içerdiklerini söylemek ne kadar doğrudur?

   Buna benzer daha bir çok soru sormak mümkündür.  En azından benim açımdan bu kadar fazla cevaplayamadığım soru varken noktayı boyutsuz kabul etmek ne kadar doğru olur?

    Şimdi biraz da noktanın matematikteki kullanımına değinelim. Örneğin $2.3=6$ türünden bir çarpma işlemini hepimiz çok sık yapmaktayız. Burada nokta "çarma işleminin sembolü" olarak kullanılmıştır. Yine vektörlerde İç çarpım ve vektörel çarpım gibi iki türlü çarpma işlemini birbirinden ayırmak için,iç çarpıma bazen nokta çarpım dendiği de olur. Aslında çarpma işlemi bir ikili işlem, yani bir fonksiyondur.
    Ayrıca $1234567890$ gibi bir sayının okunuşu daha kolay hale getirmek için yine noktadan faydalanırız. Bu sayıyı sondan başa doğru noktalar yardımıyla üçerli gruplarsak $1.234.567.890$ olur. Bu haliyle sayıyı daha rahat okuyabiliriz.
     Matematikte; bir noktanın komşuluğu, bir noktada limit,bir noktada süreklilik,bir noktada türev,bir nokta komşuluğunda seriye açılım,fonksiyonların birebirliği,örtenliği, gibi bir çok önemli işlem adından da anlaşıldığı gibi noktaya dayalıdır.
    Matematiğin en önemli konularından biri olan sayılar,sayı kümeleri yine nokta kavramıyla çok yakından ilgilidir. Kümelere dayalı olarak yapılan,bağıntı ve fonksiyon kavramları ve bu kavramlara dayalı olarak geliştirilen limit,türev ve integral kavramları dizi ve seri kavramları ve bunlara bağlı olarak geliştirilen birçok matematiksel konuların temelinin nokta olduğunu söylemek mümkündür.

    Hem matematiğin hem de geometrinin yapı taşı niteliğinde olan, fakat tanımsız ve boyutsuz kabul edilmesinin bir çok soruya yol açtığı bu kavramın bugüne kadar kabul edilebilir bir tanımının yapılmamış olması çok ama çok önemli bir eksikliktir. Atom,atom altı parçacıkların hatta madde ve anti madde kavramlarnın tanımlanabildiği ve büyüklüklerinin hesaplanabildiği bir çağda, yukarıda kısmende olsa dile getirdiğim sorunların aşılması için, sanal alemin bir elemanı olan NOKTA'nın daha derinlemesine ve daha ciddi olarak ele alınmasının zamanının çoktan geçtiğini sanıyorum. NOKTA'nın yeniden keşfinin belki matematiğin yeniden keşfi olabilir. 

RAKAM MI? SAYI MI?

     Günlük hayatımızda bir değeri, sayısal bir büyüklüğü, bir miktarı ya da bir çokluğu ifade ederken rakam ya da sayı kelimelerinde uygun olanını tercih ederiz. Fakat bu seçimin yapımında toplumun her kesiminden birçok kişi, özellikle de tv proğramcıları, siyasetçiler, borsa brokerları, ekonomistler, iş adamları, bakanlar, Cumhurbaşkanları  ve hatta  matematikçiler bile, dalgınlıkla veya bilmeden  sayıya rakam diyerek, hata yapmaktadır.  
     Öncelikle birbirinden anlam bakımından farklı olan bu iki kavram,rakam ile sayı arasındaki farkı belirtmeye çalışalım. Bu iki kelime arasındaki mana farkı, harf ile kelime arasındaki mana farkına çok benzer. Bilindiği gibi harflerin anlamlı dizimleri kelimeleri oluşturur. Kısaca, kelimeler harflerden oluşur. Tek harften oluşan kelime olduğu gibi, çoğu kelime birden fazla harften oluşur. İşte rakam sayı ilişkiside aynen buna benzer. Rakamların anlamlı diziminden sayılar meydana gelir. Tek rakamla yazılan sayılar olduğu gibi, çoğu sayı birden çok rakamla yazılmaktadır.Ancak fazladan, bazı sayılar rakamlarla birlikte harfler,özel semboller,işaretler ve notasyonlarla da yazılmaktadır. Hatta hiç rakam kullanılmadan gösterilen "e" gibi, "pi" gibi değişik sayıların varlığından da söz edebiliriz. 
  Rakam denildiğinde aklımıza Mısırlıların,Asurluların,Romalıların,Arapların,Çinlilerin veya başka milletlerin,tarihleri boyunca, bir sayısal değeri,bir niceliği, bir çokluğu göstermek için kullandıkları değişik şekil veya semboller aklımıza gelmelidir. Biz Türkler de tarihimiz boyunca çeşitli rakamlar kullanmışızdır. Ama günümüzde birçok batılı ülkeninde kullandığı ve her birine rakam dediğimiz      {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları olan sembolleri kullanmaktayız. Günlük hayatın akışı içerisinde rakam denildiğinde (aksi söylenmediği sürece) bizler, bu kümenin her bir elemanını düşünmeli ve anlamalıyız. Rakamlar,sayıları yazmak için kullandığımız özel sembollerdir. Sayı ise, bir ya da daha çok rakamın bazen de harfler,özel işaret ve sembollerin anlamlı biçimde kullanarak yazılmasından meydana gelen bir değeri,niceliği,çokluğu ifade eden bir dizindir. Örneğin 7, hem bir sayı hem de bir rakamdır. Ancak 35 ise 3 ve 5 rakamları ile yazılmış ( iki tane rakam kullanıldığından iki basamaklı ) bir sayıdır. Yani her rakam bir sayıdır ancak her sayı bir rakam değildir.

    Okur yazar olan herkesin, yukarıda açıklamaya çalıştığım rakamla sayı arasındaki anlam farkını biliyor olması gerekirken ; maalesef sokaktaki insandan gazetecisine, işçisinden iş adamına, televizyon sunucusundan yazarına, mühendisinden doktoruna, öğrencisinden öğretmenine, milletvekilinden bakanına hatta devletin üst kademelerinde görev yapanlara kadar birçok kimse bu farkı unuttuğu için,dikkate almadığı için,ya da bilmediği için mi? bilinmez.Sıklıkla bu önemli farka dikkat etmemekte ve bu farkın öneminin farkında olanlarca hiçte hoş karşılanmayan, sayıya rakam deme hatasına düşmektedirler. Yani toplumun hemen her kesiminden insan bu hataya yapmaktadır. Bazıları daha da ileri giderek hem sayı demesi gereken yerde rakam demekte ve hemde rakam yerine rakkam diyerek hatayı katmerlendirmektedir.  Daha çokta, nüfus, enflasyon, bütçe, borsa, döviz kurları, hayat pahalılığı, maaşlar, trafik kazaları, turist sayısı, öğrenci sayısı, satış miktarı, yatırım miktarı, vergi ve harcamalar ve bunun gibi sayısal verilere ilişkin bilgi veren, açıklama yapan, haber veren kişiler bu hatayı yapmaktadırlar. Bunların çoğu da maalesef iyi öğrenim gördüğünü düşündüğümüz kişiler. Bu kişiler bu hataya dikkat etmediklerinden mi, bilmediklerinden mi, yoksa alışkanlıklarından kurtulamadıklarından mı düşmektedirler bilemiyorum. 
  Matematiksel olarak önemli olan bu anlam farkını dikkate almama hatasını, matematik profesörlerinin de yaptığını söylesem herhalde inanamazsınız. Sayın hocamın affına sığınarak bir örnek vermek istiyorum. Dört yılda bir yapılan Uluslararası Matematik Kongresinin(ICM) Güney Kore’nin başkenti Seul’de yapılan 27 incisine katılan Sayın Prof. Dr. K. İlhan İkeda hocam, bu kongreye ilişkin bazı düşüncelerini Matematik Dünyası Dergisinin 100 üncü sayısında yazmış. Bu yazıda kongreye katılanların sayısına ilişkin bilgi verirken 9.sayfada “ 5000’i aşkın matematikçinin katılımıyla (tam rakam:122 ülkeden 5193 matematikçi)”  diyerek aynı hatayı istemeden yapmıştır.

    Elbette her insan hata yapabilir. Hatasız kul olmaz. İstemeden, bilmeden eskilerin deyimiyle gayri ihtiyari hata yapılabilir. Önemli olan bu türden bir hata yaptığımızı öğrendiğimizde artık onu tekrarlamamızdır. Bunun bir hata olduğunu öğrendiğinde, aman sen de, diye geçiştirenler olduğu gibi, önemli olduğunu kabul edenler de olmaktadır. Ama rakamla sayı arasındaki farkı iyi bilenler için çok sık yapılan bu konudaki  hata çoğu zaman affedilir cinsten değildir.

     Örneğin, 14 Mayıs 2014 tarihinde Manisa’nın Soma ilçesinde meydana gelen ve hepimizin yüreğini yakan elim maden kazasındaki ölü sayısı ile ilgili olarak; özellikle televizyonların haber sunucularından ve gerekse de açıklamalar yapan yetkililerden sık sık ‘’ölü sayısı maalesef 301 rakamına ulaşmıştır’’  şeklinde haberler duyduk. Ölü sayısı olarak verilen 301, bir rakam değil bir sayıdır. Zaten dikkatli okuyucular aynı cümle içinde sayının rakamla ifade edildiğini fark etmişlerdir. Tabii böyle acıklı haberlerde, insanların odaklandığı hususlar daha çok olaya ilişkin olduğundan bu tür hatalara dikkat edilmiyor. Böyle cümle kurarak sayı ile rakam arasındaki çok önemli farka dikkat etmeyenlerin çoğunun, bunu bilerek yaptığını sanmıyorum. Ama keşke zamanında yeterli ve gerekli bütün güvenlik tedbirleri alınsaydı da bu kaza yaşanmasaydı. Ya da ölü sayısı mesela,sıfır rakamı olsaydı. O zaman içimiz çok rahatlayacaktı. Rakamla sayı arasındaki farkı bilmeyen, fakat çıkarlarının hesabını iyi bilen bu olayın mahkemelerce kanıtlanmış sorumluları, olaydan sonra ortaya çıkan birçok ihmal, dikkatsizlik ve tedbirsizlikleri yüzünden 301 canımızın hayatını kaybetmesine, geride milyonlarca yüreği yaralı ve acılı insan kalmasına sebep olmuşlardır. Allahtan ölenlere rahmet ve onların geride kalan acılı aile ve yakınlarına baş sağlığı ve sabırlar diliyorum. Tabii ki; yukarıda açıklamaya çalıştığım hatanın, böylesi vahim sonuçları olan kazalarla ilgili hataların yanında esamesi bile okunmaz...